variacion de parametros

Una manera de buscar la solución particular y_p es a partir de las soluciones de la EDO homogénea y₁, y₂; proponiendo la solución particular como

1.- se encentran las derivadas  de y

Si imponemos la restricción

En realidad se puede hacer esta restricción porque tenemos más libertad de la necesaria para encontrar las soluciones. Como cuando se tiene un sistema de dos ecuaciones con tres incógnita

y la segunda derivada es:

Sustituyendo en la ecuación nos queda

Como y1 y y2 son solución de la EDO homogénea simplemente nos queda

Con la restricción y la simplificación final nos queda el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales de Orden n

Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden.

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:

Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden lineales y con coeficientes constantes:

Dichas ecuaciones son de la forma:

Las soluciones son de la forma    ,  con lo cual:

Para encontrar dichas soluciones tenemos que sacar nuestra ecucacion auxiliar y resolver la ecuacin de orden n , ya qsea factorizando o con division sintetica.