Ecs. De Primer Orden

marzo 9, 2008 at 9:27 pm Deja un comentario

Ecuaciones de variables separables

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

M(x) dx = N(y)  dy\;

diremos que es una ecuación diferencial de variables separables, de este modo, en cada miembro de la ecuación tendremos una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

{\int_{x_0}^{x} M(x)dx}={\int_{y_0}^{y} N(y)dy}

Ecuaciones homogéneas

Si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Veamos un ejemplo:

\frac{dy}{dx} =\frac{x^2y+y^3-xy^2}{x^3-7xy^2}

Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por x3 ó y3 en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según nuestra elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

u(x,y) = \frac{x}{y} o bien u(y,x) = \frac{y}{x}

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que hemos establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

\frac{dy}{dx} = F\left( \frac{y}{x} \right)

Introduciendo la variable u = y/x, la solución de la anterior ecuación viene dada por:

\ln x = \int \frac{du}{F(u)-u}+C

via Wikipedia

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Sol. Ec. Diferencial Ec. Diferencial Homogenea

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