variacion de parametros

Una manera de buscar la solución particular yp es a partir de las soluciones de la EDO homogénea y1, y2; proponiendo la solución particular como

1.- se encentran las derivadas  de y

Si imponemos la restricción

En realidad se puede hacer esta restricción porque tenemos más libertad de la necesaria para encontrar las soluciones. Como cuando se tiene un sistema de dos ecuaciones con tres incógnita

y la segunda derivada es:

Sustituyendo en la ecuación nos queda

Como y1 y y2 son solución de la EDO homogénea simplemente nos queda

Con la restricción y la simplificación final nos queda el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

mayo 7, 2008 at 3:30 am Deja un comentario

Ecuaciones diferenciales de Orden n

Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden.

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:

Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden 'Ecuaciones diferenciales de Orden n' lineales y con coeficientes constantes:

Dichas ecuaciones son de la forma:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Las soluciones son de la forma    'Ecuaciones diferenciales de Orden n' ,  con lo cual:

'Ecuaciones diferenciales de Orden n'

Para encontrar dichas soluciones tenemos que sacar nuestra ecucacion auxiliar y resolver la ecuacin de orden n , ya qsea factorizando o con division sintetica.

mayo 5, 2008 at 4:44 pm Deja un comentario

Ecuacion Ricatti

esta ecuacion podria decirse que es un caso particular de bernulli, esta ecuacion es del tipo:

dy/dx= P(x)y+Q(x)y^2+R(x)

para resolverla tenemos que tener una solucion y=Φ(x)

Lo primero que hacemos es decir que la solucion que tenemos es de la forma y=Φ(x)+Z donde Z sera por decirlo de una forma la solucion particular que nos falta para tener completa la solucion.

de donde dy/dx=dΦ(x)/dy+dz/dx

sustituyendo la solucion en la ecuacion principal y haciendo operaciones nos queda una ecuacion del tipo:

dz/dx-[P(x)+2QΦ(x)]z=Q(x)z^2

No les parece conocida dicha ecucacion asi es es una ecuacion del tipo bernulli y se resuelve como tal.

abril 22, 2008 at 5:11 pm Deja un comentario

Ecuacion de bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

se puede ver que esta ecuacion no se puede resolver de ninguna de las formas vistas anteriormente ya que tiene una  y^n en la funcion Q(x), lo que se hace para eso es un cambio de variable:

donde:

Haciendo el cambio de variable la ecuacion nos quedaria de la forma:

la cual nos forma una ecuacion lineal cuya solucion viene dada por:

abril 22, 2008 at 4:54 pm Deja un comentario

Factores de integracion

en el post anterior vimos como solucionar ecuaciones exactas pero que pasa si estas no son exactas, pues pueden convertirse buscando el factor de integracion de la misma entonces tenemos que :

si dM/dy dN/dx podemos tener varios casos para encontrar el factor de integracion y asi hacerla exacta:

  1. f(x)= [dM/dy-dN/dx]/N donde el factor de integracion M= e^∫f(x)dx
  2. -g(y)=[dM/dy-dN/dx]/M donde el factor de integracion M= e^-∫g(y)dy
  3. cuando la ecs es Homogenea M= 1/[xM(x,y)+yN(x,y)]
  4. cuando la ecuacion se puede factorizar y1f1(x,y)dx+x2f2(x,y)dy=0 M=1/[xM(x,y)-yN(x,y)]

cuando se encuentra este factor de integracion M el mismo se multiplica por la ecuacion original volviendo a la misma en una ecuacion exacta y ya la pueden resolver como vimos anteriormente.

abril 22, 2008 at 4:39 pm Deja un comentario

Ecuacion diferencial exacta

Una ecuacion M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es exacta si dM/dy= dN/dx.

lo que nos dice que si la derivada de la funcion M(x,y) respecto a y es igual a la derivada de la funcion N(x,y) respecto a x , si es asi podemos resolver dicha ecuacion volviendo:

dF/dx= M , donde F es la solucion de esta igualdad tenemos que F=∫Mdx+ Φ(y)

esta solucion F, todavia no esta completa ya que no sabemos el valor de la funcion Φ(y) , para eso regresamos a la igualdad dM/dy=dN/dx por lo tanto

dF/dy=N de aqui podemos obtener que d[∫Mdx+ Φ(y)]/dy=N

derivando la solucion e igualando con la funcion N(x,y), encontramos Φ(y y tenemos la solucion que queriamos F.

abril 22, 2008 at 4:27 pm 1 comentario

Ec. Diferencial Homogenea

La ecuación diferencial M( x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea sí M y N son:

  • funciones homogéneas del mismo grado
  • si la ecuación puede escribirse como:
  • f( tx, ty) = tⁿ f( x, y) ; siendo “n” un número real

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden dy/dx es homogénea, entonces el cambio de variable y=ux la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Ejemplo:

Al hacer la sustitución obtenemos

x du/dx + u = f(x, x u)

Pero como f(x,y) es una función homogénea de grado cero tenemos que

x du/dx + u = x^0 f(1,u)

de donde

x du/dx = f(1,u) – u

abril 22, 2008 at 4:17 pm Deja un comentario

Entradas antiguas


diciembre 2016
L M X J V S D
« May    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  

RSS Uriel

  • Ha ocurrido un error; probablemente el feed está caído. Inténtalo de nuevo más tarde.